Fraktale und fraktale Geometrie
Fraktale und fraktale Geometrie von Michael Stelzner Inhaltsverzeichnis 1. Was ist ein Fraktal? Ein Fraktal ist ein stark gegliedertes Objekt (lat. frangere / zerbrechen), dessen
Die Zahl 666
von Michael Stelzner
Um die Zahl 666 ranken sich unzählige und unheilvolle Spekulationen. Sie haben ihre Ursache im letzten Buch der christlichen Bibel, der «Offenbarung des Johannes». Das Buch, das das Ende der Zeiten beschreibt und grauenvolle Bilder zeichnet, wird deshalb auch die «Apokalypse» genannt.
Die drei kurzen in griechischer Sprache verfassten Sätze in Off. 13:18 elektrisieren den nach Wahrheit suchenden Verstand: «Der Verstand (Weisheit) Habende berechne die Zahl des Tieres. Denn Zahl eines Menschen ist sie. Und seine Zahl (ist) 666».¹
Die Wucht dieser Worte besteht darin, dass sie das Besondere, das den Menschen gegenüber dem Tier auszeichnet ansprechen und die mit ihm einhergehende Sehnsucht nach dem Heil und deren Erfüllung möglich erscheinen lässt. Die Worte wenden sich an den denkenden Verstand, denn ihr zentrales Verb des Bibeltextes ist tatsächlich das «Berechnen», welches die Domäne menschlichen Vermögens ist.
So wundert es nicht, dass viele Denker eine Vielzahl von mathematischen Zusammenhängen gesucht und gefunden haben, welche die Zahl 666 umschreiben.² Sie alle aber bleiben im Hinblick auf die den Menschen eingeschriebene Suche nach Sinnerfüllung unbefriedigend. An dieser Stelle muss er doch wieder auf die erzählende Seite der Zahlen zurückgreifen. Die zählende und berechnende Seite der Zahl findet ihren Sinn in ihrem unverzichtbaren Hinweis auf den Inhalt der Zahl. Wer die Erzählungen erfassen will, der nähert sich ihnen über ihre zählende Eigenschaft, wie auch die Bibel als solche mit der Aufzählung von Tagen beginnt.
Der Kontext der apokalyptischen 666 ist die Erzählung von drei Tieren, welche auf der Erde wirken. Das erste und größte ist der aus dem Himmel auf die Erde stürzende «große Drache, die alte Schlange, die da heißt Teufel und Satan, der die ganze Welt verführt …» (Off 12:9).
Der auf die Erde geworfene Drache entwickelt dort seine Wirkmacht und löst, von fortlaufenden Polaritäten (2) getragen kaskadenförmige Funktionen (3) aus. Er steht auf dem „Sand des Meeres“ und somit auf der Vielfalt der Dinge und auf zweifelbehaftetem und zwiespältigem Grund. Seine Funktion ist das Verbinden der dort herrschenden Gegensätze, das „Meer“ und das „Land“. Aus jedem der beiden Pole steigt ein weiteres Tier auf, welches das Sinnen des Drachens trägt (Off 13; 1ff). Das erste Tier erhebt sich aus dem Meer und das zweite aus der Erde. Im Hinblick auf den (Ur-)Drachen entsteht das Bild einer Triade. Mit anderen Worten: Das Wesen des Erdhaften und Tierischen ist – wie alles Existierende – prinzipiell ein Dreifaches. Nur favorisiert sein Wesen den „Blick nach unten“ und die Verhaftung in der Substanz! So negativ das Bild auch erscheint, es enthält bereits die Quintessenz der biblischen Weisheit, nämlich das Wissen über das wahre Wesen der Zwei. Deutlich wird das an der Beschreibung des ersten, aus dem Drachen hervorgehenden Tieres, das hier als das erste Tier bezeichnet wird, aber im Hinblick auf seinen Ursprung, den Drachen ein zweites ist. Das Tier verkörpert das Wunder, denn «eines seiner sieben Häupter war zum Tode verwundet und wurde heil« (Off 13:3)! Im sich aus dem Meer erhebenden Tier könnte der Mensch seine Suche nach dem Heil schon erfüllt sehen.
Doch die Verwirrung ist noch groß, denn dem Erdenwesen entgehen das wahre Wesen der Zwei und das Wesen der auf die Vollkommenheit gerichtete Sieben. Es bleibt noch in der Linearität und Zweiheit verhaftet. Die scheinbar uneingeschränkte Herrschaft der Unvollkommenheit alles Zweiten führt zu einer fraktalen Erweiterung der Phänomene der Zwei. So steigt neben dem Drachen und dem Tier aus dem Meer noch ein weiteres, nun «zweites» Tier auf. Es steigt aus der Erde empor und bildet zum Tier aus dem Meer wiederum eine neue Polarität. Das zweite Tier ist eine Steigerung des ersten und folgerichtig noch mehr in der Substanz verhaftet. Seine Erscheinung ist ein regelrechtes Abbild der Zwei. Es hat „zwei Hörner wie ein Lamm, redet wie der Drache, dient dem ersten Tier und zieht die Anbetung derer auf sich, die auf der Erde wohnen“. Die leben in ihrer Vorstellung von einem „Bild von dem Tier“ (Off 13,14 ff) das nur „nach unten“ zu schauen vermag und werden immer abhängiger von ihm. Endlich tragen sie selbst das Zeichen des Tieres, ohne das sie nicht einmal mehr kaufen und verkaufen können (Off 13:17).
Das Zeichen dieses zweiten und „anderen“ Tieres ist die Zahl 666. Die Zahl ist insofern die Zahl der Zwei. Zugleich ist das zweite Tier auch ein Abkömmling des großen Drachens und in diesem, seinen Verbund ein drittes Tier das «wirkt» und die Sechs, um die es letztlich immer geht, zur Wirkung bringt. Der erdverhafteten, linearen Perspektive ist die erhebende und erhobene Funktion der Drei noch fremd und auf numinose Weise andersartig. Aus ihr heraus erscheint die dritte Sechs in einer linearen Form – in der Zahl 666. Um diesen Widerspruch, diese Unterscheidung geht es beim Verstehen der 666. Der geheimnisumwitterte Zusammenhang der Zahl 666 besteht in der Linearität die sie vermittelt, die aber auch und vor allem das Wesen der Drei in sich trägt, das aus der tierischen Perspektive nicht ergriffen werden kann. Die 666 gibt das Wesen der Drei schlicht und einfach nur sehr verkürzt wider. Sie wird der vom Erheben und der Erhabenheit erzählenden, umfänglichen Qualität der Drei nicht gerecht.
Das Verwirrende und wahrhaft Diabolische in der scheinbar existierenden Perfektion der tierischen Welt ist die Tatsache, dass all ihre Erscheinungen den Zusammenhang der Archetypen Zwei und Sechs zwar aufzeigen, aber wegen ihrer Verhaftung auf der Erde die entscheidenden Dimensionsunterschiede nicht sichtbar machen und nicht vermitteln. Obwohl das Bild des Tieres „Feuer vom Himmel auf die Erde herabkommen lassen kann“ (Off 13:13), wirkt es dem Erschließen einer neuen Dimension entgegen. Einerseits ist das Tier-Sein ein Gefangensein in der 666. Andererseits vermag das Bewusstsein des Menschen, die höhere, in der Linearität verborgene Dimension zu erkennen. Der in der Polarität und auf der Erde lebende Mensch begegnet der 666 und geht mit ihr in rechter Weise um, wie er immer auch mit den Tieren in rechter Weise umgehen muss. Doch weiß er um den höheren, weil triadischen Gehalt der 666, auch wenn die Zahl das Höherdimensionale nur unvollkommen wiederzugeben vermag. Insofern ist die 666 nicht nur die Zahl eines Tieres, sondern auch und vor allem die „Zahl eines Menschen“ (Off 13,18).
Im Wissen um die Gefahr der Reduktion von Dimensionen erhält die schon in Off 12,4 vorangestellte Aussage über den Drachen und sein Wirken ihre notwendige Erklärung: „Und sein (des Drachens) Schwanz zieht den dritten Teil der Sterne des Himmels fort. Und er wirft sie auf die Erde“. (Off 12,4). Aus der Perspektive der Erd-Ebene ist die Zweiheit die alleinige Herrscherin. Ihre Darstellungsform ist die der Linearität. Die Drei, die eigentlich vom Erheben erzählt, erscheint dort als etwas Gebrochenes. Ihr Projektion ins Lineare führt beim Nichtwissenden zu Angst und Schrecken.
Die 666 ist eine Metapher für ein geistiges Labyrinth, denn sie fordert wie ein solches das Bewusstsein heraus, sich nicht in der scheinbaren Linearität der Substanzen und ihrer dinglichen Perspektiven zu verfangen. Darin findet man wohl auch den Grund über die verwirrenden Angaben und Beschreibungen vom wohl berühmtesten Labyrinth der Gotik, dem Labyrinth auf dem Boden der Kathedrale von Chartres. In der Literatur wird seine Länge immer wieder einmal mit 666 Fuß angegeben (Jean Shinoda Bolens „Crossing to Avalon“, 1994)³. Jeff Saward hat sie so konkret wie möglich nachgemessen und kommt auf 860,9 Fuss (262,4 m).
Die Zahlen des Geistes und der substanziellen Wirklichkeit sind ebenso verwirrend wie der Blick auf das Labyrinth selbst. Das gleich nach dem großen Westportal der Kathedrale folgende Gebilde fängt den Besucher ein. Es fängt ihn über den Zwiespalt in Form seiner scheinbaren Undurchdringlichkeit ein, führt ihn ins Zentrum und konfrontiert ihn dort mit dem Wesen der Sechszahl in Form eines Hexagramms. Größer könnte die Spannung nicht sein.
Schon zur Zeit seiner Erstellung nannte man das Labyrinth «Domus Daedali», also das «Haus des Daedalus«, so Jeff Saward. Das ist im Hinblick auf die allbekannte Bezeichnung «Domus Dei» (Haus der Gottheit) interessant, da die Kathedrale ein Abbild des «Ganzen» ist, das «Haus des Daedalus» hingegen den linearlogischen Geist seines Erbauers hervorhebt. Das Labyrinth verbindet beide Sichtweisen. Sein Weg ist verwirrend und doch eindeutig. Im Gegensatz zu einem Irrgarten verzweigt sich sein Weg nicht. Sein eindeutiges Hinein und ebenso eindeutigen Heraus verbindet das Wesen der Eins mit der Zwei. Doch muss man das sehen! Seine Dimension scheint nur eine lineare, eine zählende zu sein und doch ist sie auch eine erzählende.
Abb. 1 Das Labyrinth von Chartres besteht nach dem Vorbild des kretischen Labyrinths aus nur einem Gang. In seinem Zentrum befindet sich ein Hexagramm.
Die erzählende und die zählende Perspektive klaffen auseinander. Das liegt in der Natur des Labyrinths. Es macht auf den ewig vorhandenen Widerspruch (2) aufmerksam, der schließlich zum Wesen der Sechs führt. Der die Dynamik verursachende Widerspruch wird zur Erlösung, sofern man den durch ihr Wesen geforderten Dimensionswechsel zulässt. Die 666 ist die Metapher für das Labyrinth eines verirrten Lebens, dessen Verirrung entsteht, weil man die fraktale Struktur des Daseins nicht erkennt und das Zusammenwirken der Dimensionen nicht wahrnimmt.
Die christliche Offenbarung (Off 13:18; Apolkalypse)⁴, das letzte Buch der christlichen Bibel versucht den Zusammenhang zwischen der Sieben und der Sechs, dem unausweichlichen, göttlichen Schicksal und der mehrdimensionalen Wirkung der Sechs herzustellen. Die Crux ist, dass das sich erhebende, weil nach Bewusstsein strebende Subjekt in der Gefahr steht, den durch die Sechs geforderten und notwendigen Dimensionswechsel dennoch zu verpassen. Das symbolisiert die Zahl 666. Ihre dritte Sechs müsste nach dem Vorbild der Drei eine erhobene Position einnehmen und anstatt einer fortlaufenden Linie die Fläche eines Dreiecks entstehen lassen.
Abb. 2 Die lineare Sicht auf die 666 verfängt in der Substanz, die triadische Sicht hingegen erbebt das Bewusstsein.
Die wahre und ursprüngliche Mitte allen Daseins aus dem alles erwächst, ist und bleibt die Einheit (1), das Sein an sich. Da aber alles fließt und der Fluss von den zwei Dynamiken, der zentrifugalen und zentripetalen Bewegung (3) unterhalten wird (△+▽=✡)
erschauen wir den Fluss im Archetyp der Sechs und in seiner Form, dem Hexagramm. Es macht uns das vielschichtige Wesen Ganzheit in Form einer wirkenden Mitte (be)greifbar. Sichtbar wird sie durch das Phänomen der Sechs, dass sechs in einem Kreis angeordnete Kreise einen gleichgroßen, siebten Kreis in der Mitte des Gebildes hervorbringen.
Der in seiner Mitte unscheinbar existierende EINE Kreis ist nicht nur ein Abbild der vielfältig gesuchten Einheit. Er erfasst uns und erzählt von sich – der Gottheit – und von uns – der Peripherie -, weil er als Kern dem gleichen Parameter alias dem gleichen Radius folgt, dem auch wir in unserem «Oberflächen-Dasein» folgen. Nur durch diese Gleichheit und Einheit können wir die Einheit und Ganzheit mit unseren Sinnen «berühren». Das Hexagramm lehrt uns, dass die in allem herrschende Einheit und Ganzheit uns über den Archetyp der Sieben und somit über das Irrationale begegnet und steuert.
Im Wissen um die Grundstruktur und das Wesen des Hexagramms ist es nun möglich, das «Prinzip Mitte» als etwas ebenso Fließendes weiter zu entfalten. Die Mitte (siehe Radius) und der Parameter der Oberflächenstruktur (siehe Seitenlänge) entsprechen einander. Sie bilden sich gegenseitig ab. Wir erfahren über die fortlaufend neu entstehende «Zahl der Mitte» immer etwas mehr über uns und unsere Gottheit. Praktisch visualisieren wird das in wachsenden Hexagrammen, wie das die Abb. 3 zeigt. Die sich entfaltende Eins und Einheit (1) manifestiert sich über die Zahlenfolge 7, 19, 37, 55, 163 usw als Mitte. Sie erscheint über ihre Gestalten und wird so ein Stückweit (be)greifbar.⁵
Abb. 3 Das sich im fortlaufenden Fluss entfaltende Sechseck erhellt das Wesen der Einheit und Ganzheit (1) in Form der Mitte in den Archetypen (1) – 7 – 19 – 37 – etc.
Die religiösen Erzählungen greifen die in die Dimensionen hineinwachsende 6 aus den verschiedenen Perspektiven auf und umschreiben sie mit Bildern und Metaphern. Auf diese Weise thematisieren sie die notwendige und fruchtbare Unterscheidung von Dimensionen. Die Autoren der Offenbarung des Johannes (Apokalypse) inszenieren das am Beispiel der 666, der dreifachen 6. Die Offenbarung des Johannes erzählt über extreme, apokalyptische Bilder vom Nebeneinander unterschiedlicher Bewusstseinsdimensionen. In einem letzten Rückgriff auf die Archetypen bringen sie die vorangehenden religiösen Botschaften noch einmal auf den Punkt.
Alle drei abrahamitischen Religionen bedienen sich der Zahlen 7, 19 und 37, der Mitten der Hexagramme. In allen drei sind sie Metaphern für die Gottheit und ihr Wirken und somit die Parameter für ihre heiligen Schriften. Die für alle drei Religionen verbindliche Tora verpackt ihr Geheimnis bereits in den Zahlen ihres ersten Satzes. Die jüdische Tradition reflektiert vor allem das erste der Hexagramme mit ihrer Zentralzahl 7. Der erste Satz der Bibel besteht aus 7 Wörtern, die eine Kaskade von Polaritäten benennen (s.o.). Im Zusammenspiel von Halb-Sein und Ganz-Sein, von Symmetrie und Asymmetrie führen die den Satz bildenden Zahlenarchetypen zur Summe 2701 und somit auch zur 37, denn sie ist das Produkt von 37 x 73. Die Botschaft der Sieben durchzieht die gesamte Tora und sie wird auf immer neue Weise entfaltet. Das betrifft die sieben Tage der Genesis ebenso wie die Struktur des Dekalogs (10 Gebote), die sieben Aufstiege des Moses auf den Gottesberg u.v.a.m.
Der biblische Text zeigt dabei sehr frühzeitig und in konzentrierter Form, wie sich die Sieben als Zahl der Mitte des Hexagramms zur 19 entfaltet. Besteht der erste Satz der Bibel explizit aus 7 «Wörtern»⁶, so erscheint deren Botschaft in der nächstgrößeren Dimension als sogenannter Prolog der Bibel. Der besteht aus vier zu einer Einheit zusammengefassten Sätzen, die ihrerseits exakt 19 Wörter umfassen.
Die dem Prolog folgende Schöpfungserzählung gipfelt in der Paradieserzählung. In ihr verkörpert Eva das Prinzip des Weiblichen und der Zweiheit. Vor allem aber entfaltet sie es zur Sechs und Sexualität, der «Gangart der Evolution». Ihr Name bedeutet «das Lebendige» . Er wird durch eine Zahlenfolge 8-5-7 (hwj) gebildet, deren Zahlenwert 19 ist.⁷ Der Mensch Eva verbindet zwei gegensätzliche Dimensionen miteinander. Eva erzeugt die fruchtbringende Reibung zwischen dem Jenseitigen und Diesseitigen, dem Göttlichen und dem Erdhaften, analog dem Zusammenwirken der Gegensätze der «zwei großen Lichter Sonne und Mond» (Gen 1:14-19). Die Symbolik ist geometrischen Ursprungs und die Verfasser kannten sicher auch das Phänomen des sogenannten metonischen Zyklus, das zeigt, das alle 19 Jahre der Sonnenrhythmus mit dem Mondrhythmus in Einklang ist.
Das Wissen um die Zahl 19 als Zugang zu höheren Dimensionen ist aber noch älter. So ist es kein Zufall, dass der Eingang zur ersten der drei Pyramiden in Gizeh, der originale Eingang zur Pyramide des Cheops sich auf deren 19. Steinschicht befindet.
Das Wissen von der erzählenden Geometrie haben die Hebräer übernommen. Die Christen haben daraus ihrerseits die Texte der Evangelien formuliert und der Islam hat sich mit dem gleichen Wissen über beide erhoben und einige Jahrhunderte später die Texte des Korans verfasst. Deren eindeutige und beeindruckende Konstruktionszahl ist die 19. Zu diesem Thema habe ich einen eigenen Aufsatz verfasst (siehe «Die Koran-Zahl 19 und ihre Ableitungen»).
Fußnoten
¹ Wörtliche, interlineare Übersetzung n. Dietzfelbinger, Hänssler Verlag 2008.
² Mathematisch interessante und nachvollziehbare Zusammenhänge zur 666 sind u.a.:
³ Jeff Saward: Thundersley, England, 2005, überarbeitet März 2017; Das Labyrinth der Kathedrale von Chartres. Jeff Saward gibt die Quelle Jean Shinoda Bolen in seinem Aufsatz «Zum Labyrinth der Kathedrale von Chartres» (siehe «labyrinthos.net») wie folgt an:
«In mehreren Büchern wird die Weglänge mit 666 Fuß angegeben, eine Zahl, die sicherlich zu schön ist, um wahr zu sein, wobei oft Jean Shinoda Bolens „Crossing to Avalon“ aus dem Jahr 1994 zitiert wird. Als Quelle gibt Bolen jedoch Barbara Walkers „The Woman’s Dictionary of Symbols & Sacred“ an Objects (1988), das wiederum Elizabeth Peppers und John Wilcocks „Magical & Mystical Sites“ aus dem Jahr 1976 zitiert. Wenn wir uns dieser Quelle zuwenden, stellen wir fest, dass diese Informationen aus einem unbenannten „alten Buch über das heidnische Rom“ stammen, was eindeutig keine verlässliche Grundlage dafür darstellt späterer Glaube an diese fast magische Weglänge.»
⁴ Off. 13:18 «Der Verstand (Weisheit) Habende berechne die Zahl des Tieres. Denn Zahl eines Menschen ist sie. Und seine Zahl (ist) 666.» (wörtliche, interlineare Übersetzung n. Dietzfelbinger, Hänssler Verlag 2008)
⁵ Die Zahl in der Mitte eines Sechsecks nennt die Mathematik «zentrierte Sechseckzahl» oder auch einfach «Hexzahl». Sie berechnet sich nach der Formel 3n2– 3n +1. Die Hexzahlen bilden die Folge
1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, 1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107, 2269, 2437, 2611, 2791, 2977, 3169, 3367, 3571, 3781, 3997, 4219, 4447, 4681, 4921, 5167, 5419, 5677, 5941, 6211, 6487, 6769 …
⁶ Der Begriff «Wörter» steht hier in Anführungszeichen, da es sich um 6 reale, d.h. aussprechbare Wörter handelt. Sie sind hälftig zu je drei getrennt. In ihrer Mitte befindet sich das nicht unmittelbar zu übersetzende Zeichen «1-400», das den hebräischen Akkusativ anzeigt und die beiden Hälften zu einem Ganzen verbindet. Es ist das siebte «Wort».
⁷ Gen 3:20 „Und der Mensch gab seinem Weibe den Namen Eva, denn sie war die Mutter aller Lebendigen.“
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