Fraktale und fraktale Geometrie
von Michael Stelzner
Ein Fraktal ist ein stark gegliedertes Objekt (lat. frangere / zerbrechen), dessen Teile einander selbstähnlich sind. Die in sich selbst ständig wiederholende Struktur prägt sowohl die Teile zueinander als auch das Ganze. Heute weiß man, dass die gesamte Natur von Fraktalen durchzogen ist und wir regelrecht in einer fraktalen Welt leben.
Warum die erstaunlichen Strukturen sich immer wieder aus der Natur und ihren Gesetzen heraus ergeben, gilt weitgehend als unverstanden. Wir wissen jedoch, dass die Selbstähnlichkeit eines Fraktals durch Rückkopplungsprozesse zustande kommt. Der formelle und so weitgehend substanziell zu verstehende Selbstbezug hat aber auch einen geistigen Aspekt – die Wahrhaftigkeit. Reflektiert man sie ernsthaft, so kann man das fraktale Prinzip nicht mehr durch ein Äußeres erklären, sondern muss dessen Ursache vielmehr im tiefen Wesen des Fraktals selbst suchen.
Das Fraktal und seine Geometrie folgen stets dem gleichen Grundmuster. Der Begriff des Musters selbst erklärt das Phänomen des Fraktals. Die Frage und Antwort nach dem Grundmuster allen Daseins sind die Archetypen und die erschauen und erfassen wir in und über die Zahlen. Die Zahlenarchetypen haben eine genuin fraktale Struktur. Führen wir die scheinbar lineare Folge der Zahlen mit der triadischen Struktur des Seins zusammen, so erhalten wir das Zahlengebilde, das ich schon an anderer Stelle die „Flussform der Zahlen“ genannt habe (Abb. 1). Die triadisch geordneten Zahlen machen die fraktale Struktur der Zahlen augenfällig. Die Eigenschaft der Rückkopplung ist aber, wie ihre dezidierte Symbolik „erzählt“, jeder einzelnen Zahlen eigen. Die sie in Dreiecken zusammenfassenden Struktur macht sie lediglich sichtbar und logisch nachvollziehbar.
Abb. 1 Die Vereinigung der lineare Ordnung des Zahlenstrahls mit dem Wesen der Triade führt zur „Flussform der Zahlen“. Sie ist das Urmuster der fraktalen Ordnung.
Die herausragende Eigenschaft der Fraktale ist die Selbstähnlichkeit. Schauen wir unter der Perspektive der Einheit, Ganzheit und Vollkommenheit auf sie, so können wir das uns beeindruckende Phänomen auch anders definieren: Die Teile eines Ganzen haben das Erscheinungsbild des Ganzen. Dieser Blick führt zu einer weiteren Ähnlichkeit, der Ähnlichkeit des Fraktals mit dem Goldenen Schnitt und dem Hologramm, die uns ebenso beeindrucken. Sie beeindrucken durch die hinter ihnen wirkende, stets neu hervortretende und ins Auge fallende Einheit und Ganzheit. Alle drei Phänomene leben vom Prozess der Rückkopplung, deren Endpunkt ein Bild der Vollkommenheit ist. Für sich allein bleiben die drei Phänomene weitgehend unergründlich. Betrachtet man sie hingegen als eine Trias, die vom Fraktal angeführt wird, entsteht im wahrsten Sinn des Wortes Einsicht. Was uns das Fraktal noch als ein ganzheitliches Bild vor Augen führt, das illustriert uns das Hologramm auf der Ebene der Substanz und der Goldene Schnitt auf der Ebene der „zählenden“, quantitativen Zahlenverhältnisse. Ein Hologramm beeindruckt durch den Bruch der Substanz, der immer das ganze Bild wiedergibt, selbst im kleinsten Bruchteil. Der Goldene Schnitt beeindruckt durch eine Verhältniszahl, die in der Linearität von Teilen – hier den fortlaufenden Zahlen – stets das Ganze zur Anschauung bringt und zwar sowohl in die eine als auch in die andere Richtung, sowohl ins Kleine als auch ins Große hinein. Das Verhältnis von „Minor, Major und dem Ganzen“ eröffnet sich unserem Verstehen, wenn wir es im Lichte das Wesen des Fraktals und des Hologramms betrachten.
Das Prinzip von Fraktalen kennen die Menschen, seit sie über sich selbst und die Struktur der Welt nachdenkt. Der Anblick von Farnen und die Herstellung der bekannten russischen „Matruschka“, ineinander verschachtelter Puppen sind bekannte Beispiele aus der Natur und der Kunst (Abb. 2). Das Phänomen der Selbstähnlichkeit ist alt, der Begriff Fraktal hingegen modern. Er wurde 1975 von BENOIT MANDELBROT geprägt.
Abb. 2 Natürliche Farne und die Kunst der Matruschka bilden fraktale Strukturen ab.
Die Teile des Ganzen haben das Erscheinungsbild des Ganzen.
Künstliche durch iterative Prozesse erzeugte fraktale Bilder sind in der Regel sehr komplex und beeindruckend. Seine Parallelen in der Natur hingegen übersieht man leicht. In der derzeitigen Naturwissenschaft spricht man durch das Auftauchen der sogenannten fraktalen Geometrie von einer Revolution in der Sicht der Dinge. Ihr Begründer BENOIT MANDELBROT deckte Schwächen der bis dahin bewährten EUKLIDschen Geometrie auf. Das verlieh der neuen, fraktalen Geometrie eine enorme Bedeutung.
Im Licht einer archetypischen Ordnung sind die Schwächen der alten Geometrie jedoch von den Mathematikern selbstverursacht. Die gesamte Naturwissenschaft hatte im Laufe der Zeit die alte euklidische Geometrie immer mehr ausschließlich unter dem quantifizierenden, also dem rechnenden Aspekt gesehen. Sie übersahen schließlich ihren tiefen, sinngebenden und gleichnishaften Charakter und damit ihre wahre Bedeutung. Man vergaß, dass ein geometrisches Gebilde von Werten erzählt. Der Widerspruch zwischen der Natur und der vertrauten Geometrie wurde so immer größer. Das Instrumentarium, das die Natur durchschaubar machen sollte, wurde stumpf. In der Natur findet man eben nicht die idealen Elemente dieser Geometrie, wie dies z.B. der Kreis, die gerade Linie oder das Rechteck sind. Vielmehr besteht die reale Wirklichkeit aus einer Vielzahl von Abwandlungen dieser Idealformen. Die Idealform ist im strengen Sinn überhaupt nicht zu finden.
Um die Natur immer genauer beschreiben zu können, hat man sich der formenreicheren, fraktalen Geometrie zugewendet. Man bemerkte, dass die Beschreibung der Natur eine Sprache braucht, die komplexer ist. Man glaubte jedoch, dass diese jenseits der Sprache der klassischen Geometrie zu finden ist, die sich ja „nur“ der idealen Elemente wie Kreis, gerade Linie usw. bedient. Bestärkt sah man sich dadurch, dass die neue, durch Computer möglich gewordene, fraktale Geometrie – die auf Algorithmen anstatt auf Idealen beruht – Gebilde berechenbar und sichtbar machte, die eine Selbstähnlichkeit aufwiesen. Und gerade dieses Prinzip der Selbstähnlichkeit, das man nun künstlich auf dem Bildschirm erzeugen konnte, war ein überall in der Natur auftauchendes Phänomen, also ein anerkannter Baustein des Natürlichen.
Die entscheidenden, 1980 entstandenen Bilder, der neuen, experimentellen Mathematik wurden bekannt unter den Namen „Mandelbrotmenge“ oder „Apfelmännchen“. Das Apfelmännchen ist nach Aussage der Mathematiker, das komplizierteste Objekt, das die Mathematik je gesehen hat. Doch man übersieht, dass es ebenso einfach ist, denn es ist eindeutig im umfassenden Wortsinn! Bei einer noch so großen Vergrößerung entstehen immer wieder neue Bilder, die dennoch immer wieder zum Ausgangsbild zurückführen. Im kleinsten Detail taucht unentwegt das Original des Anfangs auf. Die fraktale Geometrie führt einerseits über einfache Algorithmen zu einer ungeheuren Vielfalt und andererseits führt sie unentwegt zum Einfachen des Anfangs zurück, den sie auf ständig neue Weise offenbart.
Was die fraktale Geometrie so aufregend für die Wissenschaftler macht, ist die in den Religionen altbekannte Tatsache der Allgegenwart der Einheit in der Vielheit. Das Besondere dabei ist lediglich, dass man sie nun in der modernen Computerwelt zur Anschauung bringen kann. Was man bei all der Faszination aber vergisst, ist die Schlussfolgerung in Bezug zu der alten euklidischen Geometrie, die man in der Verliebtheit zur neuen verlassen hat. Die Quintessenz der Aussage der fraktalen Geometrie betrifft genauso das Verhältnis der beiden Geometrien zueinander. Die Selbstähnlichkeit oder die Tatsache, dass man auch bei einer hunderttausendfachen Vergrößerung immer wieder auf das eine Urbild des Anfangs stößt, sollte der Überlegung Raum geben, ob das in der neuen Geometrie zu Erkennende sich nicht bereits in der Geometrie der Ideale finden lässt? Vielleicht kann man gerade in den Idealen, den man sich abgewendet hat, besonders leicht eine archetypische Ordnung erkennen? Auf ein solches Vorgehen weist PLATON in seiner Ideenlehre hin. Wer das Ideal „Zahl“ und deren geometrische Gleichnisse als „allgemein urbildhaften Ideen“ hinterfragt und die „Zahlenkunst nicht laienhaft wie die Kaufleute und Krämer“ behandelt“, stößt lt. PLATON „durch die reine Vernunfttätigkeit auf die wahre Natur der Zahlen“.¹
Wir wissen vom reduzierten Blick der „Kaufleute und Krämer“. Doch in der fortlaufenden Reduktion der Zahlen auf das rein Rechnerische übersehen wir das an sich Offensichtliche, nämlich den Sinn der Dinge den jede Geisteswissenschaft zu enthüllen versucht. Es macht nun den Eindruck, ob man mit Hilfe der Computerwelt und ihrer Bilder die Fähigkeit der Schau wieder entdeckt, die man seit einiger Zeit verloren hatte.
Die Bilder der fraktale Geometrie beruhen auf Algorithmen. Der Begriff allein verweist auf die Zahl, die zählt und erzählt. Der Begriff „Algorithmus“ entstammt dem griechischen „Arithmós“, das Zahl bedeutet. Heute versteht man unter einem Algorithmus allgemein jedes Rechenverfahren – also die Gesamtheit von verschiedenen Rechenschritten – mit dem nach einem genau festgelegten Schema eine bestimmte Rechenaufgabe gelöst wird. Die Zahl der dazu nötigen Rechenschritte ist ihrerseits ein Maß für die Komplexität des Algorithmus. Wieder ist es die Zahl, die erzählt. Sie ist es, die den für den Algorithmus und die Fraktale typischen Rückkopplungsprozess garantiert. Denn: Jede Zahl ist eine solche, weil sie sich stets auf die „Zahl Eins“ rückbezieht! Wie jede Zahl durch ihre Rückkopplung zur Einheit und Ganzheit Zahl ist, so sind auch die Systeme der realen Welt rückgekoppelte Systeme.
Hier kann es nicht unerwähnt bleiben, dass die archetypische Vorstellung von Rückkopplungsprozessen vom Wesen der Sieben beschrieben wird, die wie ein „Spiegel der Welt“ und wie ein „Sieb“ wirkt, um durch eine Rückkopplung zum Verursacher dessen Wachstum zu befördern. Das philosophische und religiöse Prinzip gewinnt an Anschauung, wenn man die wissenschaftliche Definition in Rechnung stellt:
Als rückgekoppelt bezeichnet man ein System, wenn das Ergebnis seines Prozesses wieder auf das System zurückwirkt und so ein neues Ergebnis produziert, das seinerseits wieder auf das System zurückwirkt usw. usf.
Fußnoten
¹ Plato, Sämtliche Dialoge, Band IV, Der Staat, übers. und hrsg. von Otto Apelt, Felix Meiner Verlag, Leipzig 1923, Siebtes Buch, 525St.
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