1729 – „Ramanujans Zahl“
1729 – „Ramanujans Zahl“ von Michael Stelzner Inhaltsverzeichnis 1. Das Phänomen der Zahl 1729 oder „RAMANUJANs Zahl“ Nach einer Anekdote hat der geniale indische Autodidakt
EUKLID, die Geometrie und die Definitionen
von Michael Stelzner
Die Geometrie ist ein Fachgebiet der Mathematik. Verstehen wir die Mathematik nur als Rechenkunst, so ist auch die Geometrie nur das, was ihr Name besagt, eine «Messkunst». Gegen diese verhängnisvolle Verkürzung hat sich bereits PLATON im letzten seiner Werke, der «Epinomis» vehement ausgesprochen. Das Buch «Epinomis» ist nicht nur das Alterswerk PLATONs, es führt alle seine Lehren zu dem Punkt zurück, an der entscheidet, ob die zahlreichen, von ihm vermittelten Lehren lediglich «Wissen schaffen» und wie all die Wissenschaften als eine Art Handwerkskunst anzusehen sind, oder ob sie zur Weisheit führen. Das Erlangen von Weisheit und dessen Voraussetzung sind Gegenstand des Buches Epinomis.
PLATON geht es ausdrücklich nicht um Mathematik, denn die ist für ihn nur eine Art handwerkliche Hilfe. Ihm geht es um die «Kunst der Zahlen». Ihm geht es primär um deren Qualität, also darum, was sie «erzählen» und erst sekundär um ihre «zählende» Eigenschaft, aus der heraus die Rechenkunst, die Mathematik lebt. Unmissverständlich nennt PLATON den Weg, der zur Weisheit führt: «Die erste und wichtigste Wissenschaft ist die der Zahl als solche, wobei das gewöhnliche Rechnen ausgeschlossen ist … hat der Zögling diese inne, so muss sich zunächst die Wissenschaft anschließen, welche man lächerlicherweise Geometrie nennt … » [Epinomis 990d-e].¹
Trotz der von PLATON eindeutig festgestellten Hierarchie zwischen der «Zahlenkunst» und der «Rechenkunst» würdigten die Denker jener Zeit auch die Rechenkunst und mit ihr die Geometrie als die Kunst des Messens. Sie waren für den durchaus geschätzten Erkenntnisfortschritt hilfreich und notwendig. Doch waren sie eben Künste, die auf der Zahlenkunst basieren und durch ihr Vermächtnis wiederum ihre Erkenntnisse schöpfen. Das muss man reflektieren, wenn man das die Geometrie begründende Werk des griechischen Mathematikers EUKLID von Alexandrien tiefergehend verstehen will.
Die primäre und so wichtige «Kunst der Zahlen» ist eine maximal abstrahierende Kunst. Sie bedarf erklärender Formen. Die liefert die Geometrie. Warum und wodurch sie das im Einzelnen vermag, das erklärt HERKLIT in seinem Werk «Die Elemente» (ISBN 3-534-01488-X). Das ca. 300 v. Chr. – wahrscheinlich in Alexandrien – verfasste Werk schafft die Grundlage für die bekannte und anschauliche Geometrie des Zwei- und Dreidimensionalen. Noch heute ist die Geometrie ihren Grundsätzen nach, die Geometrie, wie Euklid sie definiert hat.
Will man ihre Herkunft aus der Zahlenkunst sichtbar machen, muss man sich ihren ersten, ihren grundsätzlichen Sätzen zuwenden. Das sind die sogenannten Definitionen. Aber auch schon der Begriff der Definition muss bereits vor dem Hintergrund der Archetypen verstanden sein, um das aus ihnen hervorgehende Ordnungssystem der Geometrie erfassen zu können.
Die Definition ist die Bestimmung eines Begriffs. Sie legt fest. EUKLID zeigt, dass ihre Bedingung das Ausschließen ist. Erst wenn dem Ganzen etwas fehlt, wird es zur Existenz. Das Definierte, das «Festgelegte» wird über das ihm jeweils Fehlende begreifbar. Das zeigen die im Anhang wörtlich zitierten Definitionen des EUKLID.²
Wer die Ordnung der Archetypen studiert, der studiert sie anhand der «Flussform der Zahlen» und in der nimmt die Zahl 6 eine Schlüsselrolle ein. An anderer Stelle habe ich sie deshalb als die Gangart der Evolution bezeichnet. Der Blick auf die ersten und grundsätzlichen EUKLIDschen Definitionen lässt die Vorherrschaft der Sechs nicht unmittelbar erkennen, denn sie bestehen aus insgesamt 35 Teil-Aussagen. Erst wenn man diese vor dem Hintergrund der Archetypen, wie es die nachstehende Tabelle zeigt, betrachtet, so handelt es sich um insgesamt 6 Definitionen, um ((1)) Punkt, ((2)) Linie, ((3)) Fläche, ((4)) Winkel, ((5)) Grenzprinzipien (Figuren und Kreis) und ((6)) Parallelität.
Die auf die Zahl 6 heruntergebrochene Ordnung kann Skepsis aufkommen lassen, da die Tabelle im fünften Teil sowohl die Figuren als auch den Kreis unter dem Begriff «Grenze» zusammenfasst. Warum das inhaltlich richtig ist, erklärt sich aus der Kenntnis der Qualitäten einschließlich der Zahl 6. Sie entsteht aus dem Prinzip der 2, dem offensichtlichen Ausschließen, das aber zugleich das Ausgeschlossene in verdeckter Weise wieder einschließt. In jener Dynamik (3) erhebt sich aus der Zwei die nun substanziell greifbare Vier (siehe «Formel 4»). Die erste in sich geschlossene, «abgegrenzte» Definition besteht aus ((1)) Punkt, ((2)) Linie, ((3)) Fläche und ((4)) Winkel.
Dieser ersten, vollkommenen Vierheit folgt eine neue Dimension der Abgrenzung, das Bewusstsein (5). Es zeichnet sich dadurch aus, dass es auf die Dualität des Daseins zu schauen vermag und endlich die fraktale Struktur allen Daseins erkennen kann. In der Schau nehmen der («runde») Kreis und sein Gleichnis als Symbol für die Ganzheit eine Sonderstellung ein. Ihm entgegen steht die Vielzahl der anderen («eckigen») Figuren.
Den folgerichtigen Schlusspunkt, den man aus dem konkreten Dasein der Welt noch erfassen kann, ist die Sechs. Der Beginn der Existenzen ist nach der Lehre der Archetypen die Zahl Zwei. Der Endpunkt ihrer Entfaltung ist die Zahl 6. In ihr werden die scheinbaren Gegensätze als ein Ganzes, als ein Dual erkannt. Geometrisch erleben wir das Ganze im Phänomen von zwei Parallelen. Sie sind eindeutig ein Ganzes und ebenso eindeutig und unwiderruflich doch von zweifacher Art. Die Parallelität wird folgerichtig als Letztes und Sechstes definiert. Alles was ihr nachkommt ist «nur noch» ein fraktales Ausformen ein und dergleichen Ordnung.
Der Augenschein erfasst nicht die volle Wahrheit. Das hat uns Galilei mit dem Fernrohr vor Augen geführt und Newton mit dem schnellen Fall einer Feder in der Vakuumröhre. Die immer subtiler werdenden Instrumente des Augenscheins entlarven alte Weltbilder und schaffen neue. Selbst mathematischen Formeln erweisen sich am Ende nur als – wenn auch höchst präzise – Instrumente des Augenscheins. Der geniale indische Mathematiker Ramanujan hat den Augenschein der Dinge bis in die Mathematik hinein auf den Punkt gebracht: „Eine Gleichung hat keinen Sinn. Es sei denn, sie drückt einen Gedanken Gottes aus.“¹
Was uns der Augenschein heute vorführt, das erscheint morgen oder später in einem anderen Licht. Aus einer Wahrheit wird eine andere. Ist die andere und neue Wahrheit eine höhere, dann muss sie die vorangehende einschließen und erklären. Solche Erkenntnis- und Wahrheitsprozesse haben kein Ende, denn sie sind Prinzip. Die so stattfindende Veränderung des schauenden Menschen führt dazu, dass dieser irgendwann nicht mehr die Dinge in den Vordergrund stellt sondern die Prinzipien, die alles beherrschenden Archetypen, auf deren Grundlage die Prozesse stattfinden.²
Wie der sich verändernde Augenschein die Weltsicht verändert, das haben wir im großen Maßstab an der kopernikanischen Wende beobachten können. Vor den theoretischen Entdeckungen des Kopernikus, glaubte man, an einen Weltenbau, den jeder Normalbürger augenscheinlich nachvollziehen konnte: Das gesamte Universum drehte sich um die Erde und somit im Grunde um den Menschen.
Kopernikus war ein Theoretiker, der genauer hinblickte. Er fand Widersprüche in der bestehenden Theorie. Ihre 40 verwirrenden Kreisbahnen (Epizykel) konnten ihn nicht befriedigen. Kopernikus war getrieben von der Suche nach einer klar erkennbaren, einfachen Struktur des Universums. Am Ende fand er ein schlüssigeres Weltbild, in dem nicht die Erde im Mittelpunkt des Universums stand, sondern die Sonne.
Die im Nachhinein absurd erscheinende Tragik des Geschehens war, das die neue, kopernikanische Theorie noch lange Zeit zu schlechteren Berechnungen führte als die durch die Vielzahl von Epizykeln inzwischen besonders ausgefeilte alte Theorie. Die Erfahrung der Praxis schien dem alten aristotelischen Weltbild zuzusprechen. Aus der Sicht der Wahrscheinlichkeit hätte Kopernikus scheitern müssen. Es kam anders.
Die Geschichte ging weiter und heute sind wir – wie die damaligen Vertreter des Ptolomäischen Weltbildes – davon überzeugt, dass wir zumindest die Realität der Bewegung der Gestirne endgültig erfasst haben. In Wirklichkeit sind wir nur einen Schritt weiter und haben zum vergangenen Standpunkt den Gegenstandpunkt eingenommen. Die neue Polarität lautet:
Alte Wahrheit: Dem Gesichtssinn nach schienen sich alle Objekte des Universums
um die Erde zu drehen.
Neue Wahrheit: Nach dem mathematischen Augenschein war es nun eindeutig die
Sonne, um die sich alles drehte.
Im Rausch des Neuen sah man noch nicht die notwendig dritte und verbindende Wahrheit, die es nach dem Gesetz der Trias immer gibt. Nach ihr sind beide Weltsichten war. Die Sonne ist nicht der letzte Fixpunkt des Universums. Auch sie dreht sich um einen weiteren Mittelpunkt und dieser sich wieder um einen anderen, usw. Der Mensch aber, der dieses alles beobachtet und dessen Augenschein die Weltsichten prägt, bleibt immer der Mittelpunkt der Betrachtung.³
Das erweiterte Weltbild des Kopernikus und Galilei erklärt das bis dahin herrschende. Das ist, wie oben bereits erwähnt, auch notwendig, wenn es wirklich ein höheres ist. Die Menschen leben auf einer Ebene und bestellen ihre ebenen Äcker. Auf dieser ihrer alltäglichen Vorstellung bewältigen sie ihren Alltag ohne die Bedenken, womöglich von der runden Erde herunter zu rutschen. Die alte Vorstellung von der Welt wurde nur „relativ relativiert“. Der Ackermann und der Naturwissenschaftler handeln vorherrschend auf der Basis des alten Weltbildes. Es prägt den Alltag und macht ihn in unserem Augenschein möglich.
Wer aber über diesen Augenschein hinausgeht, der begibt sich auf eine Reise, an deren Ende die Dinge zugunsten der Prinzipien weichen. Dabei sind alle Prinzipien Bewegungsprinzipien. Die Bewegung an sich, das Symbol der Trinität erlangt höchste Bedeutung.
Mit dem kopernikanischen Weltbild bewegt sich nun nicht nur die Erde. Es bewegt sich vor allem – hier in seiner Bedeutung noch unerkannt – vor allem auch der Mensch, der auf dieser Erde ist. Er wird bewegt und muss sich bewegen, weil die Bewegung selbst das Gesetz der Gesetze ist.
Wenn die Bewegung (3) das prägende Gesetz ist, dann dürfen wir nicht mehr nur auf die Dinge schauen, sondern auf die Bewegung in und durch die Dinge. Die Konsequenz wird besonders deutlich, wenn wir unsere heutige Physik anschauen. Wir haben die Newtonsche Physik der Dinge inzwischen überwachsen und die Quantenmechanik entwickelt, welche die Vorstellung von Dingen in der gewohnten Weise nicht mehr zulässt und doch sprechen wir von Partikeln, welche die Welt ausmachen. Wären wir konsequent, dann würden wir nicht primär die Dinge voraussetzen, welche dann sekundär bewegt werden, sondern würden viel mehr die Bewegung voraussetzen, aus welcher dann die Dinge hervorgehen. In den uns eingeborenen Parametern Raum und Zeit müssten wir konstatieren:
Am Anfang ist die Bewegung. Aus ihr gehen die Expansionen Zeit und Raum hervor. Weg (Raum) und Zeit führen nicht zur Bewegung, wie uns das die „Formel der Bewegung“ (Bewegung ist gleich Weg pro Zeit), sondern aus der Bewegung entstehen erst der Weg und die Zeit!
Haben wir diese Hierarchie einmal erkannt, dann bleibt vor allem noch die spannende Frage nach den Prinzipien der Bewegung und ihrer Ordnung.⁴ Am Ende sollten wir beantworten können, welches Bewegungsprinzip der Mensch (5) ist und wie er die Welt (4) sehen muss, um sein Bewegungsprinzip (6) erfüllen zu können.
Fußnoten
¹ Die hier deutliche aber doch relativ kurze Zusammenfassung über das wahre Wesen und den wahren Wert der Geometrie war ausreichend, denn PLATON hatte darüber in seinen früheren Büchern bereits ausführlich gesprochen, so beispielsweise im siebten Buch vom «Staat»:
«Nicht wahr, wenn Geometrie auf wesenhaftes Sein zu schauen nötigt, so ist sie förderlich dazu, wenn aber auf die sichtbare Welt des vergänglichen Werdens, so ist sie es nicht?» … «Darüber wenigstens …wird also doch bei denen kein Zweifel sein, die nur wenig in der Geometrie erfahren sind, dass die genannte Wissenschaft etwas ganz anderes ist, als die Ausdrücke vermuten lassen, die diejenigen im Munde führen, die sich damit befassen … Sie führen bekanntlich doch eine spaßhafte und handwerksmäßige Sprache, gerade so als verrichteten sie eine mechanische Arbeit und als machten sie nur dieser Arbeit wegen alle ihre Demonstrationen, sprechen sie nur von quadrieren, verlängern, hinzufügen und wie alle diese ihre Ausdrücke lauten, während doch die ganze Wissenschaft einer geistigen Erkenntnis wegen betrieben wird … nur über folgendes hätten wir uns noch zu verständigen … dass es der Erkenntnis des unveränderlichen Seins dient [B] und nicht des in der Zeit etwas Werdenden und wieder Vergehenden? … Sie (die Geometrie) hätte nach deinem Zugeständnisse … die Kraft, die Seele zum Sein hinzuziehen, und wäre eine Bildung für einen wissenschaftlichen Kopf und um Seelen zum Wesen der Dinge hin zu leiten, die wir jetzt ungebührenderweise nur auf das Irdische hin halten». … Der Hauptnutzen aber, freilich schwer zu glauben, liegt darin, dass einem jeden ein gewisses Organ der Seele gereinigt und angefeuert wird, das unter anderen Beschäftigungen [E] abstirbt und erblindet, obgleich an dessen Erhaltung mehr gelegen ist als an tausend Augen, denn durch jenes Organ allein wird die Wahrheit geschaut» [Der Staat, siebtes Buch 527].
² Euklid stellt seinen Ausführungen die Definitionen voran. Sie umfassen 35 Teil-Aussagen.
Erfasst man die wiederum vor dem Hintergrund der Archetypen, so handelt es sich um insgesamt 6 Definitionen: ((1)) Punkt, ((2)) Linie, ((3)) Fläche, ((4)) Winkel, ((5)) Grenzprinzipien (Figuren und Kreis) und ((6)) Parallelität.
Euklid zeigt, dass die Bedingung einer Definition das Ausschließen ist! Über das dem jeweils Definierten Fehlende wird das Definierte auch wirklich begreifbar.
(redaktioneller Hinweis …siehe den nachfolgenden Anhang)
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